연속확률분포 주요 종류 정리

1. 연속균등분포 (Continuous Uniform Distribution)

정의

 

구간 $  [a, b]  $에서 모든 값이 동일한 밀도를 갖는 분포..

 

확률밀도함수

$f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b$

 

기댓값과 분산

​

$E(X) = \frac{a+b}{2}, \quad Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

 

 

특징

• 가장 단순한 연속분포
• 난수 생성의 기본이 됨

예시 0분에서 10분 사이에 버스가 올 확률이 동일할 때 $  X \sim U(0, 10)  $

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2. 지수분포 (Exponential Distribution)

정의 사건이 발생한 후 다음 사건이 일어날 때까지의 대기 시간의 분포.

확률밀도함수

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$

 

(또는 평균 $  \theta = 1/\lambda  $로 표현: $  f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}  $)

기댓값과 분산

​

$E(X) = \frac{1}{\lambda}, \quad Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

 

누적분포함수

$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$

 

포아송분포와의 관계

• 포아송분포: 단위 시간당 사건 발생 횟수
• 지수분포: 사건과 사건 사이의 대기 시간

포아송 과정의 발생률이 $  \lambda  $일 때
→ 대기 시간은 $  \text{Exp}(\lambda)  $를 따름

즉, 둘은 같은 현상을 횟수와 시간으로 각각 본 것.

무기억성 (Memoryless Property)

$P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$

 

 

이미 $  s  $시간 동안 사건이 발생하지 않았어도,

이 성질을 가진 연속분포는 지수분포가 유일합니다. (이산에서는 기하분포)

 

예시

기계의 평균 고장 시간이 1000시간이라면
$  X \sim \text{Exp}(\lambda=0.001)  $
500시간 이상 작동할 확률: $  P(X > 500) = e^{-0.5} \approx 0.6065  $

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3. 정규분포 (Normal Distribution)

정의 종 모양의 대칭 분포. 가장 중요하고 널리 쓰이는 연속분포.

확률밀도함수

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)$

 

• $  \mu  $: 평균 (중심)
• $  \sigma  $: 표준편차 (퍼진 정도)

기댓값과 분산

$E(X) = \mu, \quad Var(X) = \sigma^2$

 

특징

• 좌우 대칭
• 평균 = 중앙값 = 최빈값
• 중심극한정리에 의해 표본평균의 분포가 정규분포에 근사
• $  X \sim N(\mu, \sigma^2)  $으로 표기

68-95-99.7 규칙

• $  \mu \pm 1\sigma  $: 약 68%
• $  \mu \pm 2\sigma  $: 약 95%
• $  \mu \pm 3\sigma  $: 약 99.7%
  
  

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4. 표준정규분포 (Standard Normal Distribution)

정규분포 중 평균 0, 분산 1인 특별한 경우.

$Z \sim N(0,1)$

 

표준화 변환

​

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

 

어떤 정규분포든 표준정규분포로 변환해 확률을 계산할 수 있습니다. 표준정규분포표(Z-table)를 사용합니다.

예시 $  X \sim N(70, 10^2)  $일 때 $  P(X \leq 85)  $

$Z = \frac{85-70}{10} = 1.5 \rightarrow P(Z \leq 1.5) \approx 0.9332$

 

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5. 감마분포 (Gamma Distribution)

정의 대기 시간을 일반화한 분포. 지수분포가 “1번 사건까지”라면, 감마분포는 “$  \alpha  $번 사건까지”의 대기 시간.

확률밀도함수

$f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}, \quad x > 0$

 

• $  \alpha  $: 형태 모수 (shape)
• $  \lambda  $: 비율 모수 (rate)
  (또는 $  \theta = 1/\lambda  $를 척도 모수로 쓰기도 함)

기댓값과 분산

​

$E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}, \quad Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}$

 

특수 경우

• $  \alpha = 1  $ → 지수분포
• $  \alpha = k/2  $, $  \lambda = 1/2  $ → 카이제곱분포

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6. 카이제곱분포 (Chi-square Distribution, χ2 \chi^2 χ2)

정의 표준정규분포를 따르는 독립인 변수들을 제곱해 합한 것의 분포.

$$Z_1, Z_2, \dots, Z_k \sim N(0,1) \text{ i.i.d.}$$
$$X = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2 \sim \chi^2(k)$$

• $  k  $: 자유도 (degrees of freedom)

기댓값과 분산

$E(X) = k, \quad Var(X) = 2k$

 

특징

• 감마분포의 특수 형태
• 항상 오른쪽 꼬리를 가짐 (왜도 > 0)
• 분산 추정, 적합도 검정, 독립성 검정 등에 사용
• 자유도가 커질수록 정규분포에 가까워짐

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7. t분포 (Student’s t-Distribution)

정의 모분산을 모를 때 표본평균의 분포를 설명하기 위해 사용.

$T = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

 

특징

• 표준정규분포보다 꼬리가 두꺼움 (이상치에 더 관대)
• 자유도 $  \nu = n-1  $
• 자유도가 커질수록 표준정규분포 $  N(0,1)  $에 수렴
• 소표본에서 모평균 추론에 사용

기댓값과 분산 (자유도 > 1, > 2일 때)

​

$E(T) = 0, \quad Var(T) = \frac{\nu}{\nu-2}$

 

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8. F분포 (F-Distribution)

정의 두 개의 카이제곱분포를 각각의 자유도로 나눈 비율의 분포.

$F = \frac{U / d_1}{V / d_2} \sim F(d_1, d_2)$

 

• $  U \sim \chi^2(d_1)  $, $  V \sim \chi^2(d_2)  $ 서로 독립

특징

• 항상 양수
• 오른쪽으로 치우친 분포
• 두 집단의 분산 비교, 분산분석(ANOVA), 회귀분석의 유의성 검정에 사용
• $  F(d_1, d_2)  $의 역수는 $  F(d_2, d_1)  $

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분포 간 관계 요약

정규분포 N(μ, σ²)
    ↓ 표준화
표준정규분포 N(0,1)
    ↓ 제곱 후 합
카이제곱분포 χ²(k)
    ↓ 감마의 특수형태
감마분포
    ↓ α=1
지수분포  ←→  포아송분포 (대기시간 vs 발생횟수)

표준정규 + 카이제곱  →  t분포
카이제곱 / 카이제곱   →  F분포

분포주요 사용

균등분포	난수 생성, 기본 모형
지수분포	대기시간, 수명, 무기억성
정규분포	자연·사회 현상, 중심극한정리
표준정규	확률 계산의 기준
감마분포	대기시간 일반화, 베이지안 사전분포
카이제곱	분산 검정, 적합도·독립성 검정
t분포	소표본 평균 추론
F분포	분산 비교, ANOVA, 회귀 검정